MATEMÁTICA CONCEITOS E SIGNIFICADOS

MATEMÁTICAS   

                                                                                                                                                                                                        

CONCEITOS  E  SIGNIFICADOS  PROGRESSIVOS  QUE  SE  PODEM  EXPENDER SOBRE O PROGRAMA DA DISCIPLINA DE

MATEMÁTICA  DURANTE  O  ENSINO  BÁSICO  (alguns acréscimos foram feitos de conhecimentos julgados necessários,

embora não aprofundados, nesta Etapa de Aprendizado).

1 - SOMA -  MULTIPLICAÇÃO -  EXPONENCIAÇÃO -  LOGARÍTMO – INTEGRAL

2-  FRAÇÃO  ORDINÁRIA -  DECIMAIS -  IGUALDADE DE FRAÇÕES ORDINÁRIAS - RAZÕES E PROPORÇÕES

    - TXs.  DE JUROS

3 -  TRIGONOMETRIAS, PLANA E ESFÉRICA

4 -  TEORIA DOS CONJUNTOS

5 -  FUNÇÕES COMO RELAÇÕES ENTRE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS E DE 1º., 2º., 3º.,..., N GRAUS -  FUNÇÕES DE

       FIGURAS GEOMÉTRICAS  - POLINÔMIOS (SOMA E SUBTRAÇÃO DE FUNÇÕES) – FUNÇÕES DE MATEMÁTICA

       FINANCEIRA -  FUNCÕES CONTÍNUAS E DESCONTÍNUAS - FUNÇÕES CÍCLICAS

6 -  SISTEMAS DE EQUAÇÕES :  LINEARES -  DIFERENCIAIS -  MATRIZES -  DETERMINANTES  

7 -  GEOMETRIAS -  PLANA -  ESPACIAIS -  PROJETIVA -  FRACTAL -  TOPOLOGIA - DESCRITIVA - ANALÍTICA

8 -  ESTATÍSTICA/TEORIA DAS PROBABILIDADES

9- SEQUÊNCIAS/PROGRESSÕES

10- ANÁLISE COMBINATÓRIA/BINÔMIO DE NEWTON

11- NÚMEROS - NATURAIS -  INTEIROS -  RACIONAIS -  REAIS - IRREAIS - IMAGINÁRIOS -  COMPLEXOS

                Para que haja um aprendizado satisfatório de uma Disciplina é necessário que o aluno tenha compreensão satisfatória inicial do que vai estudar e que esta compreensão esteja  agrupada segundo temas afins, para mais fácil memorização.    Esta a razão da Grade Inicial previamente apresentada, a qual, adiante, sofre um aprofundamento de apresentação de conceituações.      Dessa forma,  vamos tentar construir o conhecimento prévio das  MATEMÁTICAS  conforme programa contido no Ensino Básico, com alguns pequenos acréscimos que fazem falta conhecer para complemento intra-grupos ao quais pertençam

1 - SOMA -  MULTIPLICAÇÃO -  EXPONENCIAÇÃO -  LOGARÍTMO – INTEGRAL

                A SOMA é a primeira operação da aritmética/matemática a trabalhar com quantidades.

                A MULTIPLICAÇÃO é o artifício criado para simplificar a soma contínua de uma mesma grandeza, diversas vezes; assim, quando se diz 2 x 3, se está dizendo que o 2 é somado 3 vezes ou que o 3 é somado 2 vezes.

                A EXPONENCIAÇÃO é o artifício criado para simplificar a multiplicação de uma mesma grandeza, diversas vezes; assim quando se diz 5 elevado à 4ª. Potência, ou 5 elevado a  4, se está dizendo que a grandeza 5 é multiplicada por si mesma, quatro vezes;  ou se 4 elevado à 5ª. Potência, diz-se que a grandeza 4 é multiplicada por si mesma, 5 vezes.

                O LOGARÍTMO é um artifício criado para poder-se multiplicar grandes grandezas entre si, numa época  eque  inexistiam máquinas de calcular.   Assim os LOGARÍTMOS de grandes números poderiam ser somados entre si ,  dando lugar a um novo LOGARÍTMO de um número que seria o resultado da multiplicação de duas grandes grandezas, que seria conhecido por reversão de seu  LOGARÍTMO..     Seu conceito fundamental é  : “o LOGARÍTMO de um número N é o expoente a que se deve elevar uma BASE dada para igualar-se a N.”      Assim, se pretendermos criar uma Tabela de Logarítmos na BASE 10,  o Logarítmo do número N=10 será  log(na BASE 10) de N  será igual a 1 (uma unidade), pois 10 (BASE) elevado à potência 1 será igual a N =10.    Por esta razão o LOGARÍTMO  está associado ao conhecimento da EXPONENCIAÇÃO, que se associa ao conceito SOMA.                                                                                                                                                                                                                                           

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                Chama-se de função INTEGRAL  no intervalo (n-n1) uma área contida em um PLANO, delimitado pela função  e pelos comprimentos dos eixos Cartesianos (vide 6 - ANALÍTICA), de tamanho do intervalo (n-n1), para X e Y de tamanhos entre eixo de X até pontos de encontro com linha delimitadora da função.      Faz-se menção,  agora, a este tipo de FUNÇÃO, pois seu conceito se associa ao conceito de SOMA.

                Fizemos um caminho desde a operação simples SOMA até o conceito mais complexo de função INTEGRAL , que também é associada ao conceito de SOMA, passando pelo conceito de LOGARÍTMO,  que também é associado ao conceito de SOMA.       Se fizermos o caminho inverso, iremos trilhar o caminho do conceito da SUBTRAÇÃO, passando por uma função DERIVADA;   depois, por RADICIAÇÃO, que é o inverso da EXPONENCIAÇÃO;   então, por DIVISÃO, que é o inverso da MULTIPLICAÇÃO, para, finalmente chegarmos à SUBTRAÇÃO.

                É  uma VIAGEM  fascinante;   é ou não é ?!  

2-  FRAÇÃO ORDINÁRIA -  DECIMAIS -  IGUALDADE DE FRAÇÕES ORDINÁRIAS - RAZÕES E PROPORÇÕES

    - TAXAS  DE JUROS

                Colocamos a FRAÇÃO ORDINÁRIA , nesta posição pois seu conceito é exatamente igual ao de DIVISÃO;  ela se constitui de um número dividido por outro.      Só que não efetuamos a DIVISÃO;   se efetuarmos, transformamos a FRAÇÃO ORDINÁRIA em uma FRAÇÃO DECIMAL.     Parece truque de mágica!   Se deixarmos a coisa quieta ela é o que é.   Se mexermos nela, ela se transforma noutra coisa!    Tatu-Bola é assim.   Agora mexeram com ele e ele virou MASCOTE  da COPA DO MUNDO DE FUTEBOL DE 2014!    Vejam que coisa!     Na primeira vez que mexeram, quando ele era comprido ele virou BOLA;  na segunda vez que mexeram com ele, virou celebridade de COPA DO MUNDO!

                Se tivermos uma igualdade entre duas FRAÇÕES ORDINÁRIAS , criamos o conceito de RAZÕES E PROPORÇÕES.    Continuamos transformando as coisas.      E ainda ao invés de falarmos que duas FRAÇÕES ORDINÁRIAS são iguais. Iremos dizer que A está para B, assim como C está para D, ao depararmos com A/B = C/D.

                E por quê a TAXA DE JUROS aparece aqui, também ?   Qual o conceito que a associa com FRAÇÃO ORDINÁRIA ?     É porque sempre estamos a falar que TAXA DE JUROS é de 10 por cento ao ano, ou é de “não sei quanto “ por cento ao ano.     Perceberam a dimensão da TAXA DE JUROS ?     Além de estar sempre dividida por 100 (ou, X/100), ainda tem uma dimensão temporal : é considerada ao ano, ou ao mês, ou ao dia, ou a “tantos” dias.

                Notaram que é a primeira vez que damos uma dimensão a uma determinada grandeza ?      Pois este é um dos principais conceitos definidos pelas nossas Ciências:   o das dimensões das quantidades e de que somente podemos fazer operações de qualquer natureza entre grandezas que tenham a mesma dimensão, ou poderemos cometer erros homéricos quando quisermos operar com grandezas, diferentemente,  dimensionadas.

                Outras dimensões, aparecem , como ppm, partes por mil ou por milhão;   PIB por cabeça (Produto Interno Bruto/cap);   muitos outros com os quais, ao longo dos estudos se irão topar.

3 -  TRIGONOMETRIAS, PLANA E ESFÉRICA

                Por quê as TRIGONOMETRIAS estarão aqui e não em um outro lugar ?     Com que se parece o conceito das TRIGONOMETRIAS ?       Pois assim como a TAXA DE JUROS  é uma FRAÇÃO ORDINÁRIA,   o conceito trigonométrico, é   igualmente, uma FRAÇÃO ORDINÁRIA.     O seno, o cosseno, a tangente e outras grandezas  trigonométricas se constituem frações ordinárias que relacionam segmentos horizontais e verticais internos a um círculo de RAIO igual a 1, enquanto este RAIO se move circularmente e internamente ao círculo.      Há uma TRIGONOMETRIA DO PLANO, para os espaços planos e uma TRIGONOMETRIA ESFÉRICA para os espaços esféricos.                                                                                                                                              

  

4 -  TEORIA DOS CONJUNTOS

                Este item serve apenas como referência, pois que se busca reunir em mesmos grupos certos elementos que possuem similaridade de natureza em seus conceitos e que, portanto, formam um conjunto, relativamente homogêneo.   Outros conjuntos existem que poderão ser heterogêneos.     Será sempre mais próprio adquirir conhecimento com maior facilidade e memorizar conhecimento, também, com maior facilidade se buscarmos trabalhar com conjuntos homogêneos.       A TEORIA DOS CONJUNTOS, nas Matemáticas, é como um mundo maravilhoso de ALICE, onde imaginação e fantasia andam sempre juntas.

5 -  FUNÇÕES COMO RELAÇÕES ENTRE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS E DE 1º., 2º., 3º.,..., N GRAUS -  FUNÇÕES DE

       FIGURAS GEOMÉTRICAS  - POLINÔMIOS (SOMA E SUBTRAÇÃO DE FUNÇÕES) – FUNÇÕES DE MATEMÁTICA

       FINANCEIRA -  FUNCÕES CONTÍNUAS E DESCONTÍNUAS - FUNÇÕES CÍCLICAS

                O campo das Matemáticas é muito fértil quando se trata de analisar e conhecer as funções onde se relacionam duas ou mais variáveis.        Tendo em vista que, conforme a GEOMETRIA DE EUCLIDES, o espaço tem começo em um PONTO, passando pela RETA (CONJUNTO  de pontos), passando pelo PLANO (CONJUNTO de duas dimensões).    Passando para os  ESPAÇOS com três dimensões, curvos ou não (CONJUNTOS de três dimensões), passando pelos HIPER- ESPAÇOS , com mais de três dimensões, curvos ou não, elásticos ou não, turbulentos ou não, aéreos, líquidos, gasosos, materializados ou abstratos      Não é muito difícil imaginar esta coletânea de ESPAÇOS, em nosso mundo, desde que nos lembremos de nossa casa, dos mares, das nuvens, dos ventos, dos gases, das diversas forças atuantes em nosso mundo e dos espaços abstratos que se constituem todas as construções materiais e imateriais humanas, animais, vegetais.        É para descrever tais espaços e o comportamento da natureza e de idéias abstratas  nestes espaços que foram criadas as funções matemáticas onde se inter-relacionam variáveis diversas, assim como foram criadas  as GEOMETRIAS (vide item 6 - ).

                As funções que descrevem FIGURAS GEOMÉTRICAS  planas e com três ou mais dimensões, são as mais conhecidas e entendidas daqueles cujo conhecimento matemático seja de pequeno  a médio e, portanto, não utilizem este conhecimento com maior profundidade.      O mesmo ocorre com as funções de  MATEMÁTICA FINANCEIRA, tratando de cálculos sobre amortizações de montantes de empréstimos e suas TAXAS DE JUROS.     Os POLINÔMIOS, as FUNÇÕES CONTÍNUAS E DESCONTÍNUAS e as FUNÇÕES CÍCLICAS,  já passarão  a exigir um pouco mais de atenção e cuidados para seu  melhor entendimento.   

                O que é necessário bem compreender é que as funções algébricas descrevem o comportamento de variáveis diversas e seus relacionamentos nos diversos espaços que se apresentam no mundo natural e no mundo mais abstrato das criações humanas.

6 -  SISTEMAS DE EQUAÇÕES :  LINEARES -  DIFERENCIAIS -  MATRIZES -  DETERMINANTES  

                Os Sistemas de Equações Lineares (com variáveis de potência zero ou 1) compreendem relações entre variáveis ( em número igual ou maior do que 2)  que deverão apresentar resultados das variáveis compatíveis  para satisfazer as equações   constituintes.   Normalmente será um conjunto de equações igual ao número de variáveis, contidas em cada equação, a exemplo de :

                                                                                                                                                                                                                                            

                                                               (a1)X + (b1)Y + (c1)Z + (d1)W = (n1)

                                                               (a2)X + (b2)Y + (c2)Z + (d2)W = (n2)

                                                               (a3)X + (b3)Y + (c3)Z + (d3)W = (n3)

                                                               (a4)X + (b4)Y + (c4)Z + (d4)W = (n4)

                Os Sistemas de Equações Diferenciais (com potências de variáveis = ou > do que zero) constituem estruturas que permitem avaliar-se graus de relações entre as diversas variáveis entre si.      Estes sistemas permitem solucionar e indicar em que grau se alteram as grandezas  de todas as demais variáveis quando se aplicam diferentes valores de grandeza a uma delas.     Normalmente será um conjunto de equações igual ao número de variáveis, contidas em cada equação, a exemplo de :

                                                               (a1)(dX)/X + (b1)(dY)/X  + (c1)(dZ)/X + (d1)(dW)/X  =  (n1)

                                                               (a2)(dX)/Y  +  (b2)(dY)/Y + (c2)(dZ)/Y + (d2)(dW)/Y  =  (n2)

                                                               (a3)(dX)/Z  +  (b3)(dY)/Z + (c3)(dZ)/Z + (d3)(dW)/Z  =   (n3)

                                                                (a4)(dX)W + (b4)(dY)/W+ (c4)(dZ)/W+(d4)(dW)/W =  (n4)

                As MATRIZES são algoritmos utilizados para facilitar-se a resolução dos Sistemas de Equações a partir de duas variáveis, sendo os DETERMINANTES das MATRIZES os valores encontrados para as variáveis compatíveis e congruentes com os SISTEMAS.

  7 -  GEOMETRIAS -  PLANA -  ESPACIAIS -  PROJETIVA -  FRACTAL -  TOPOLOGIA- DESCRITIVA - ANALÍTICA

AS GEOMETRIAS, como as funções algébricas que as descrevem, definem –se em diferentes espaços do mundo natural e de mundos abstratos da criação humana,  assim como as figuras geométricas que neles se inserem.    

A GEOMETRIA  PLANA, dita EUCLIDIANA,  porque criada pelo matemático e geômetra Euclides, descreve o espaço do ponto, da reta e do plano.    

As GEOMETRIAS ESPACIAIS -  ELÍPTICA e HIPERBÓLICA,  de Gauss, Lobachevski e Bolyai,  descrevem tais espaços descritos por  estes matemáticos.    A ESPACIAL  ESFÉRICA é criação do matemático  Riemann .     

A GEOMETRIA PROJETIVA , descreve  os espaços deformados pela perspectiva de visão de um observador a partir de seu ponto de visão de espaços diversos.    Foi utilizada pela primeira vez pelos Pintores no início da época da Renascença, séc. XIV/XV, para dar dimensão de profundidade no espaço plano da pintura, assim como o claro/escuro foi utilizada para criar sensação de volume no mesmo espaço plano.

                A GEOMETRIA FRACTAL começou a ser esboçada a partir de 1872, culminando em 1975 com sua apresentação formal e histórico de sua criação por diversos matemáticos, pelo matemático Mandelbrot, também responsável pelo termo que criou -  FRACTAL - a partir do qual passou a ser conhecida e, com a computação, então possível, ganhou mais desenvolvimento.    Sua concepção pretende melhor representar figuras ocorrentes no mundo natural  e no mundo das Artes, através de processos de subdivisão sucessiva de segmentos e figuras quaisquer.    Destes processos, o mais simples e mais  conhecido é o da adição sucessiva de novos triângulos isósceles em meio e aos lados de um triângulo isósceles.              

                                                                                                                                                                                                                                  

                A TOPOLOGIA  trata de espaços denominados topológicos,  possuidores de características curvas diversas das figuras geométricas regulares conhecidas, assim como de espaços que possam sofrer  variações de formas, a exemplo de espaços com ventos, elásticos, gasosos, fluidos.

                A GEOMETRIA DESCRITiVA, uma criação de Gaspar Monge, descreve um objeto volumétrico qualquer  através de suas 6 (seis) vistas possíveis,como  se contido o objeto em um cubo, desde um observador no infinito a cada face e, portanto, com linhas de visão perpendiculares às 6 (seis) faces do  objeto e paralelas entre si.      Modernamente, esta GEOMETRIA DESCRITIVA é a base da modelagem de figuras em 3D, a partir destas 6 (seis) vistas planas possíveis, até o mínimo de 3 (três) para figuras simétricas nas suas  três dimensões.   Igualmente, o processo de fatiar um objeto volumétrico através de diferentes planos paralelos (à semelhança de uma tomografia) segundo três eixos cartesianos, permitirá subdividi-lo em muitos blocos volumétricos de dimensões cúbicas de tamanhos projetados que servirão à modelagem e montagem do objeto em qualquer parte de um espaço em que se queira fazê-lo.

                A GEOMETRIA ANALÍTICA criada por Descartes, por isso chamada de eixos Cartesianos permite que se dê forma, no plano ou em espaços tridimensionais, às funções algébricas, de modo geral.

8 -  ESTATÍSTICA/TEORIA DAS PROBABILIDADES

                A ESTATÍSTICA é o ramo das Matemáticas que busca estabelecer os padrões de ocorrências  de variáveis constitutivas de fenômenos que aparecem em conjuntos de grandes números.    Assim, por exemplo, em conjuntos de seres humanos quais seus padrões de médias de alturas;  quais seus padrões de distribuição em faixas etárias;  quais as ocorrências de diferentes raças, credos e suas participações relativas.     Em conjuntos vegetais arbóreos, as ocorrências de diferentes espécies em maiores quantidades e suas presenças por áreas, definidas em unidades/m2  para definições de BIOMAS e de valorações econômicas.     Em matéria de poluição, quais os quantitativos de presença de elementos tóxicos em partes por milhão(ppm)  em conjuntos de  espaços de terras, líquidos e aéreos.      Estes objetivos diversos visam gerar padrões de ocorrências de variáveis em Universos Diversos que denominamos Conjuntos , com quantitativos e qualificações,  para que se possa trabalhar com as probabilidades, de que possam estar acontecendo em Conjuntos maiores similares aos analisados.      O Objetivo é poder-se trabalhar em Conjuntos Homogêneos de Menor número de unidades, estatisticamente,  para poder-se atribuir a outros Conjuntos  Homogêneos assemelhados, de Maior número de unidades, padrões assemelhados de comportamento.     Há um objetivo econômico de reduzir-se custos de investigação sobre ocorrências de fenômenos em Conjuntos Homogêneos.      Junta-se ESTATÍSTICA E TEORIAS DAS PROBALIDADES para atingir-se este propósito.   

                  A exemplo, sabe-se que determinadas populações humanas, que aparecem homogêneas quanto às atividades de trabalho;  ganhos salariais; processos de preparo de alimentos e alimentação;   tipos raciais;  condições habitacionais;  poluição ambiental,   estarão propensas a determinados tipos de doenças.   Feito um levantamento estatístico para avaliar-se a ocorrência destas doenças e suas importâncias relativas de presença em um Conjunto desta Natureza Populacional,  permitirá concluir que outros Conjuntos Homogêneos, de igual ou  maior tamanho, vizinhos ou distantes,  terão grande PROBABILIDADE de ter as mesmas doenças com iguais importâncias relativas de presenças.     Seria, portanto, suficiente analisarmos uma população em comunidades reduzidas para podermos inferir, por MÉTODO DE INDUÇÃO que outras comunidades assemelhadas, de qualquer tamanho e em qualquer local assemelhado ao da população investigada, terão problemas de doenças, bastante, aproximados.

  

                                                                                                                                                                                                                                            

9- SEQUÊNCIAS/PROGRESSÕES

                São construções de Conjuntos de Grandezas,  numéricas ou não,obtidas a partir de uma regra de obtenção/ construção ou sem regras.      Assim, as sequências dos números inteiros é aquela à qual se acrescente a unidade a qualquer grandeza anterior para obter-se a seguinte posterior.      No caso, a sequência de números inteiros entre 20 e 50, será 21, 22,...49, 50.     Uma sequência de parentesco poderá compreender  bisavô, avô, filho, neto, bisneto.     Uma sequência de desastres poderá ser de chuvas torrenciais, deslizamentos de terras sobre áreas densamente povoadas, destruição e aterramento de casas com seus habitantes,  mortes e feridos em profusão.   

                Não necessitará haver sempre uma lógica em quaisquer sequências.      Ela poderá ser construída com ou sem regras, bastando que se a apresente como uma sequência.   O mais comum será que haja  alguma lógica de construção para obter-se uma sequência.

                As PROGRESSÕES  são construções de Conjuntos de Grandezas numéricas, definidas como Aritméticas (por soma), ou Geométricas (por multiplicação), a partir de uma Grandeza que sirva como sua BASE até uma Grandeza que lhe sirva de teto ou de FINAL.    

                Assim a PROGRESSÃO ARITMÉTICA construída pela soma de 2 unidades a cada número par anterior para formar o seguinte posterior, será igual a uma sequência de números pares.     A mesma regra de construção para  os números ímpares fará acontecer uma PROGRESSÃO ARITMÉTICA igual a uma sequência de números ímpares.      Assim, qualquer termo a(n) de uma PROGRESSÃO ARITMÉTICA será igual ao termo BASE a(1) + (n-1)xS, onde S é o valor da unidade SOMA (chamada RAZÃO) que constrói a PROGRESSÃO ARTIMÉTICA.   Supondo a unidade SOMA IGUAL A 3 para construir-se uma  PROGRESSÃO ARITMETICA, de BASE 7, seu termo de número 5  será igual a 7 + ( 4x3) = 19; a PROGRESSÃO será :

                                                                                      7, 10,13,16,19

                Já a PROGRESSÃO GEOMÉTRICA, construída a partir do produto de uma Grandeza,  G=2,  pelo número anterior para construir o posterior consecutivo, será igual a uma sequência de números consecutivos como dobro do anterior.    Visualizando, para melhor entendimento, suponha-se  o número BASE  de 8, a sequência  será de números

                                                                              8,16,32,64,128, caso tenhamos 128 como seu número final.

                Assim, qualquer número  a(n) será igual ao número BASE a(1) x G  (elevado à potência (n-1)), onde G é o valor da unidade PRODUTO (chamada RAZÃO) que constrói a PROGRESSÃO GEOMETRICA.       No  caso da PROGRESSÃO GEOMÉTRICA citada, seu quinto número será igual a  8 x 2 (elevado à quarta potência) = 8 x 16 = 128.

                Podemos dizer que uma sequência  poderá não ser nem uma PROGRESSÃO ARITMÉTICA, nem uma PROGRESSÃO GEOMÉTRICA, mas que qualquer PROGRESSÃO ARITMÉTICA ou GEOMÉTRICA, sempre serão sequências.

10- ANÁLISE COMBINATÓRIA - COMBINAÇÕES - ARRANJOS - PERMUTAÇÕES - BINÔMIO DE NEWTON

                A Análise Combinatória presta-se à quantificação de sub-conjuntos que possam ser formados, desde um Conjunto,  tendo em vista certas normas de formação.     O objetivo destas quantificações é de interesse estatístico quanto a  informações, proposições,  investigações e pesquisas.     Supondo que se tenha informações as mais diversas sobre os elementos que constituem um Conjunto, ou seja, de membros de um Conjunto e que desejamos deste extrair sub-conjuntos com informações idênticas ou assemelhadas ao que desejamos saber, propor, investigar ou pesquisar.   

                 A exemplo podemos pretender saber quanta população menor, igual e maior  do que uma certa faixa etária existe na população total.   Isto corresponde a determinar um grupo (sem que haja repetições de indivíduos) que constituirão  nossos sub-conjuntos;  a exigência de que não haja repetição de indivíduos reside na precisão do número de pessoas com as propriedades solicitadas.             

                Em outro exemplo,  temos um conjunto = m = 6 de seis algarismos (entre 0 e 9) que pretendemos  agrupar 2 a 2 para constituir um conjunto de números com os quais  pretendemos  constituir jogos de 6 números para a Mega-Sena;  portanto podemos agrupá-los permitindo que os grupos sejam invertidos (tal como 12 e 21, 34 e 43)  e que possam aparecer algarismos repetidos (tal como 11, 33, 44).      Depois de obtida a quantidade de números desejados, iremos agrupá-los, 6 a 6, para quantificar de quantos jogos unitários de 6 números se constituirá nosso BOLÃO.

                Em outro exemplo, temos um Conjunto de automóveis constituindo a frota de um País, ou de um Estado deste País,  em um tempo futuro,  e desejamos saber  de quantos algarismos e letras necessitamos para que o número de placas de registro dos carros que iremos criar ( com 3 letras e 4 números) seja igual ou superior ao número de automóveis previsto até este tempo  futuro, utilizando 25 letras do alfabeto e 10 algarismos (0 a 9).    

                Nos exemplos acima buscamos aproximar três tipos de GRUPOS  em nossos sub-conjuntos com os quais pretendemos trabalhar.                                                                                                                           

                Nosso  primeiro exemplo aproxima-se do que entendemos ser              COMBINAÇÕES de indivíduos agrupados segundo suas faixas etárias, grupos para os quais não se permitem nem repetições nem inversões.    

                 Nosso segundo exemplo aproxima-se de ARRANJOS, que são grupos para os quais são admitidas repetições e inversões, além do número das COMBINAÇÕES,    

                Nosso terceiro exemplo aproxima-se daquilo que se entende por PERMUTAÇÕES, quando exigimos que um determinado grupo tenha uma certa ordem, uma certa sequência, um certo encadeamento e que, portanto, permite que se façam repetições e inversões de posicionamentos individuais, desde que mantidas suas individualidades como GRUPOS.

                Por último, como é necessário saber-se de quantas formas  podemos estabelecer nossas COMBINAÇÕES, ARRANJOS E PERMUTAÇÕES, são necessários os procedimentos de cálculos que se expõem através do chamado BINÔMIO de NEWTON, como algoritmo.

                O número de COMBINAÇÕES de um Conjunto de m elementos que pretendemos agrupar em n quantidades, sem repetições, nem inversões, será de          

                              N = C(m,n) = m!/n!(m-n)!. com o símbolo ! (que se chama fatorial) consistindo na multiplicação sucessiva da sequência de grandezas de 1 até m como numerador e, como  denominador, o produto do fatorial de n (que é multiplicação sucessiva da sequência de 1 até n),  pelo fatorial da diferença de (m-n).     Caso tenhamos 6 elementos em um Conjunto e quisermos saber quantas COMBINAÇÕES  se podem obter quando se grupam 6 = m elementos tomando-os 2 a 2 =n elementos (é o modo de dizer, corretamente), teremos, conforme a regra de cálculo citada :

                               N = (1x2x3x4x5x6)/(1x2)x(1x2x3x4)= depois de simplificar = (5x6)/2 = 15

                O número de ARRANJOS  de um Conjunto de m elementos que pretendemos agrupar em n quantidades, serão :

Com Inversões, Sem repetições :

                                N = A(m,n) = m!/(m-n)! ; para m = 6 e n = 2, teremos  A(m,n) = 1x2x3.x4.x5.x6/1x2x3x4 = 30

Com inversões,Com repetições : N = A(m,n) = m(elevado à potência n) = 6 (elevado á potência 2) = 36

                O número de PERMUTAÇÕES de um Conjunto  de m elementos  que pretendemos agrupar em diversas ordens, serão :                  N = P(m)  = m!;  para m = 6, teremos P(m) = 1x2x3x4x5x6 = 720.

                                                                                                                                                                                                                                         

                Observe-se que o número de ARRANJOS, com inversões, sem repetições,  é o número de COMBINAÇÕES multiplicado por fatorial de n = n! e que o número de PERMUTAÇÕES é o anterior número de ARRANJOS, com Inversões, sem repetições, multiplicado por fatorial de (m-n) = (m-n)!

                                                                                                                                                                                                                                          

11- NÚMEROS - NATURAIS -  INTEIROS -  RACIONAIS -  REAIS - IRREAIS - IMAGINÁRIOS -  COMPLEXOS

                Números NATURAIS são o inteiros positivos, à exceção do zero.

                Números INTEIROS  são os Números NATURAIS, mais o zero, mais os negativos simétricos aos números NATURAIS.

                Números RACIONAIS (de RAZÃO, como origem) são os Números iNTEIROS mais os fracionários originados pela divisão de dois Números INTEIROS.

                Números IRRACIONAIS são os números que não podem ser obtidos pela divisão de dois Números INTEIROS.

                Números REAIS são os Números RACIONAIS mais os Números IRRACIONAIS.

                Número IMAGINÁRIO, denominado i é igual à raiz quadrada de (-1).

                Números COMPLEXOS são os números formados por soma de um Número REAL  mais outro Número REAL, este último sendo  multiplicado pelo Número IMAGINÁRIO i.